Канонический вид прямой

Поверхность в канонический вид прямой можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса с центром в точке есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки на расстоянии. Прямоугольная канонический вид прямой координат в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и канонический вид прямой чисел и — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнением поверхности в прямоугольной системе координат называется такое уравнение с тремя переменными икоторому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные и в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит канонический вид прямой поверхности, если не удовлетворяют — не лежит. Уравнения линии в пространстве Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям. Если и — уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:. Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки. В этом случае ее задают векторным уравнением или параметрическими уравнениями проекций вектора на оси координат. Прямая в пространстве Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуназываемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости вектор ортогонален перпендикулярен векторуследовательно, их скалярное произведение равно нулю: или. Общее уравнение плоскости После преобразования, уравнение можно записать в видепринявполучаем общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Если же общее уравнение плоскости является полным т. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Пусть плоскость проходит через точки ине лежащие на одной прямой и — произвольная точка плоскости. Тогда векторы, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:. Это уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки. Нормальное уравнение плоскости Положение плоскости вполне определяется заданием единичного вектораимеющего направление перпендикуляраопущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра Пустьа — углы, образованные единичным вектором с осями и ; Возьмем на канонический вид прямой произвольную точку и соединим ее с началом координат. При любом положении точки Μ на плоскости проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно :т. Записав его в координатах получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме:. Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному уравнению так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: канонический вид прямой обе части общего уравнения на нормирующий множитель где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей Если две плоскости и заданы общими уравнениями вида: Под углом между плоскостями и понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между и равен углу между их нормалями, то есть между векторами 1 и 2. Из формулы получаем, что косинус угла между плоскостями и равен. Условие параллельности плоскостей рис. Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если плоскости и перпендикулярны, то таковы же их нормали, т. Расстояние от точки до плоскости Пусть задана точка и плоскость общим уравнением. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле:. Если плоскость задана уравнениемто расстояние от точки до плоскости может быть найдено по формуле. Прямая в пространстве Общие уравнения прямой Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Прямую в пространстве невозможно канонический вид прямой одним уравнением. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой. Для этого требуется система двух или более уравнений. Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями вида и канонический вид прямой, т. Тогда прямая в пространстве есть пересечение этих плоскостей: Эти уравнения называются общими уравнениями прямой. Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики. Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору канонические уравнения прямой Пусть прямая проходит через канонический вид прямой параллельно вектору. Так как любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, является ее направляющим вектором, то для любой точкилежащей на данной прямой, вектор коллинеарен направляющему вектору. Поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно, имеют место равенства:называемые канонический вид прямой уравнениями прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки Пусть прямая проходит через две точки:направ­ляющим вектором такой прямой является вектори уравнения принимают вид: уравнения прямой, проходящей через канонический вид прямой данные точки. Параметрические уравнения прямой Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки и направляющего векторапараллельного этой прямой. Пусть прямая проходит через точкулежащую на прямой параллельно вектору. Рассмотрим произвольную точку на прямой. Так как векторы и коллинеарны, то найдется такое числочтопричем число может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки на прямой. Обозначив радиус-векторы точек и соответственно через иполучаем. Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра соответствует радиус-вектор некоторой точкилежащей на прямой. Так как векторы то. Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Канонический вид прямой изменении параметра изменяются координаты канонический вид прямой и точка перемещается по прямой. Если принять каждую из равных дробей в канонических уравнениях прямой за некоторый параметр, то можно получить параметрические уравнения. Переход от общих уравнений прямой к каноническим канонический вид прямой параметрическим уравнениям Для того, чтобы от общих уравнений перейти к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точкипринадлежащей ей. Направляющий канонический вид прямой прямой ортогонален нормалям и к обеим плоскостям, следовательно, коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравненийвыбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю. Канонический вид прямой канонические и параметрические уравнения прямой. По условиютогда. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор. Будем искать точку на прямой с координатой. Для координат и получим систему уравненийоткуда. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:. Параметрические уравнения той же прямой имеют вид: или. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду. Найдём канонический вид прямой, лежащую на канонический вид прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, и решив систему уравнений найдем. Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую, имеют координаты. Поэтому направляющий вектор прямой будет. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси. Тогда направляющий вектор прямой перпендикуляренследовательно, и параметрические уравнения прямой примут вид. Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде. Однако, и в этом случае, формально записывают канонические уравнения прямой канонический вид прямой виде. Канонический вид прямой образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей канонический вид прямой оси. Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям или параллельная оси. Записать уравнение прямой в параметрическом виде. Обозначимотсюда Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору. Взаимное расположение прямой и плоскости Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между прямыми в пространстве называют любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным. Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида и то косинус угла между ними можно найти по формуле:. Найти угол между прямыми и. По условиюканонический вид прямой отсюда канонический вид прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны: — условие параллельности прямых. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: — условие перпендикулярности прямых. Канонический вид прямой уравнения прямой проходящей через точку параллельно прямой. Канонический вид прямой искомая прямая параллельна данной прямой, то в качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять направляющий вектор данной прямой. По условию— отсюда уравнение искомой прямой имеет вид:. Угол между прямой, заданной каноническими уравнениями и плоскостью, определяемой общим уравнением Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть прямая задана каноническими уравнениямиа плоскость общим уравнением. Если угол между ними острый, то канонический вид прямой будета. Если угол между векторами и тупой, то он равен. Поэтому в любом случае. Применив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Пусть прямая задана каноническими уравнениямиа плоскость общим уравнением. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть канонический вид прямой скалярное произведение равно нулю — условие параллельности прямой и плоскости Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны — условие перпендикулярности прямой и плоскости. Найти угол между прямой и плоскостью. По условию, тогда. Из уравнения плоскости имеем, что нормальный вектор. Как проверить принадлежность точки плоскости, заданной своим канонический вид прямой Как найти расстояние от данной точки до плоскости? Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей? Как определить угол между двумя плоскостями? Запишите уравнение плоскости проходящей через три данные точки. Напишите уравнения прямой в пространстве. Как найти угол между прямой и плоскостью? Как найти угол между двумя прямыми в пространстве? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости? Как найти точку пересечения прямой и плоскости? Найти: угол между ребром и гранью ;площадь грани ;объем пирамиды; уравнения прямой ; уравнение плоскости ; уравнения высоты, опущенной из вершины на грань.